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統計学・機械学習でよく使われる数学記号リスト（主に自分用）

統計学とか機械学習周りの本を読んでいると，何の説明もなくややこしい数学記号が出てきて，そういえばこれはなんだっただろう？　と途方に暮れてしまうことが少なくないので，自分用にまとめなおしてみました，というのが今回のエントリ．あくまで自分用なので，全部の数学記号を扱ってるわけではありません*1．

代数学

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$\sum$	総和	$\sum_{i=1}^n x_i$	$x_{1}+x_{2}+...+x_{n}$	要するに足し算
$\prod$	総乗	$\prod_{i=1}^n x_i$	$x_{1} \times x_{2} \times ... \times x_{n}$	要するにかけ算
$\delta_{ij}$	クロネッカーのデルタ	$\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ if } i = j \\ 0 & \mbox{ otherwise } \end{array} \right.$	i=jなら1，それ以外なら0	要するにブーリアン条件
$\nabla$	ナブラ	$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k$ *2	3次元ベクトルの微分	要するに各要素の微分
$\Delta$	ラプラシアン	$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$	3次元ベクトルの2階微分	要するに各要素の2階微分
$\inf$	下限	$\inf_{x>0}\frac{1}{x}$	$x=\infty$ のとき与式は0になる	$\min$ との違いは， $\min$ は当該値を含む必要があるが， $\inf$ はないこと
$\sup$	上限			$\max$ との違いは， $\max$ は当該値を含む必要があるが， $\sup$ はないこと
$\rm{argmax}$	関数値が最大となるような定義域の元の集合	$\rm{argmax}$ $f(x)$	$f(x)$ を最大にするような $x$	$x$ が $\rm{argmax}$ の下にくる場合もある
$\rm{argmin}$	関数値が最小となるような定義域の元の集合	$\rm{argmin}$ $f(x)$	$f(x)$ を最小にするような $x$	$x$ が $\rm{argmax}$ の下にくる場合もある

線形代数

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$\parallel x \parallel$	ノルム	$\parallel (3, 4)\parallel$	$\sqrt{3^2+4^2}$	要するに長さor距離で，例は2次元距離ということ
$f:.\Rightarrow.$	写像	$f:x\Rightarrow y$	xからyへの対応付け	要するに $y=f(x)$
$f \circ g$	合成写像	$f \circ g$	$f(g(x))$
$(.,.)$	内積	$x=\left( 3\\4 \right),y=\left(2\\5 \right)$ のときの $(x,y)$	$3 \times 2 + 2 \times 5 = 16$	要するに要素のかけ算
$\mathrm{det}\\\mid.\mid$	行列式	$X=\left(1,2\\3,7 \right)$ のとき $\mathrm{det}X$ または $\mid X \mid$	$1\times7-2\times3=1$	行列の体積のようなもの
$\mathrm{rank}$	ランク	$rank \left(1,2\\3,6 \right)$	$(1,2)$ と $(3,6)$ は一次従属なのでrank 1	行列における独立した行or列の個数のこと

幾何学

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$\equiv$	合同	$x \equiv y$	xとyは合同
$\sim$	相似	$x \sim y$	xとyは相似
$\perp$	垂直	$\vec{x} \perp \vec{y}$	xとyは垂直に交わる

順序構造

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$[.,.]$	閉区間*3	$[3, 5]$	$3\leq x \leq 5$	端を含む
$(.,.)$	開区間	$(3, 5)$	$3 < x < 5$	端を含まない
$\sim, \simeq, \approx$	ほぼ等しい	$x \approx 3$	だいたい3に等しい
$\propto$	比例	$x \propto y$	xはyに比例する	$\sim$ を使う場合もある

論理演算子

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$\wedge$	論理和	$A \wedge B$	AかつB	要するにand
$\vee$	論理積	$A \vee B$	AまたはB	要するにor
$\neg$	否定	$\neg(x \in \mathbb{N})$	xは自然数ではない*4	要するにnot
$\Rightarrow, \rightarrow$	論理包含/条件文	$A \Rightarrow B\\A \rightarrow B$	AならばB	厳密には論理包含のほうが条件文より「断言」のニュアンスが強いらしい
$\Leftrightarrow, \leftrightarrow$	同値	$A \Leftrightarrow B\\A \leftrightarrow B$	AとBは同値である	要するに=
$\exists$	存在記号	$\exists x(x<0)$	0より小さい（という性質を持つ）xが存在する	Existの頭文字をひっくり返した記号
$\forall$	全称記号	$\forall x(x<0)$	すべてのxは0より小さい（という性質を持つ）	for Allの頭文字をひっくり返した記号

集合および集合演算子

記号	意味	用例	用例の意味	備考
$\subseteq$	部分集合	$\mathbb{R} \subseteq \mathbb{R}$	実数は実数の部分集合である	左右の項が等しくてもOK
$\subset$	真部分集合	$\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$	自然数は実数の真部分集合である	左右の項が等しいのはNG*5
$.^c, \bar{.}$	補集合	$X^c$ または $\bar{X}$	全体集合を $U$ とした場合の $U-X$	要するに集合のnot
$\cap$	積集合	$A \cap B$	AかつB	要するに集合のand
$\cup$	和集合	$A \cup B$	AまたはB	要するに集合のor
$\in$	含まれる	$7\in \mathbb{N}$	7は自然数に含まれる

数の集合

記号	意味	備考
$\mathbb{R}$	実数	Real numberの頭文字
$\mathbb{Q}$	有理数	英語で商を意味するQuotientの頭文字
$\mathbb{Z}$	整数	ドイツ語で数を意味するZahlenの頭文字
$\mathbb{N}$	自然数	Natural numberの頭文字
$\emptyset$	空集合	要するに0

*1:詳細な数学記号表は，Wikipediaの数学記号の表でもみていただければと思います

*2:ブコメ指摘を受けて，単位ベクトル加えました

*3:hoxo_mさんの指摘通り，開区間と閉区間逆になってたので修正しました

*4:こちらの指摘を元に例を修正しました

*5:こちらの指摘によると，実際にはこれで部分集合を表してしまうことも多いみたいです